Question

17．若α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（$\frac{α}{2}-β$）=-$\frac{1}{2}$，cos（$α-\frac{β}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則α+β=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（$α-\frac{β}{2}$），cos（$\frac{α}{2}$-β）的值，進而利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求cos（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）的值，再根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式可求cos（α+β）的值，結(jié)合范圍α+β∈（0，π），即可得解．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（$α-\frac{β}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$α-\frac{β}{2}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），可得：sin（$α-\frac{β}{2}$）=±$\frac{1}{2}$，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（$\frac{α}{2}$-β）=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{α}{2}$-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$），可得：cos（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos[（α-$\frac{β}{2}$）-（$\frac{α}{2}$-β）]=cos（α-$\frac{β}{2}$）cos（$\frac{α}{2}$-β）+sin（α-$\frac{β}{2}$）sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{3}{4}$±$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，或1．
即cos（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）=$\frac{1}{2}$，或1，
∴cos（α+β）=cos[2（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）]=2 cos²（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）-1=-$\frac{1}{2}$，或1．
∵α+β∈（0，π），
∴可得：α+β=$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，解題時要注意角的范圍，屬于中檔題．