Question

17．已知函數f（x）=4x+$\frac{a}{x}$+b（a，b∈R）為奇函數．
（Ⅰ）若f（1）=5，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當a=-2時，對任意x∈[1，4]上，函數y=f（x）的圖象在函數y=t的圖象的下方，求實數t的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函數的定義求出b，利用f（1）=5，求出a，即可求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當a=-2時，f（x）=4x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，4]，函數單調遞增，求出函數的最大值，即可求實數t的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=4x+$\frac{a}{x}$+b（a，b∈R）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即-4x-$\frac{a}{x}$+b=-4x-$\frac{a}{x}$-b，
∴b=0，
∵f（1）=5，
∴4+a=5，
∴a=1，
∴f（x）=4x+$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）當a=-2時，f（x）=4x-$\frac{2}{x}$，x∈[1，4]，函數單調遞增，
∴f（x）∈[2，$\frac{31}{2}$]，
∵對任意x∈[1，4]上，函數y=f（x）的圖象在函數y=t的圖象的下方，
∴t＞$\frac{31}{2}$．

點評 本題考查函數的解析式，考查函數的奇偶性、單調性，確定函數的解析式是關鍵．