Question

2．已知函數(shù)f（x）=ln（x+m）+2x²在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程與直線x+y=0垂直．
（1）若?x₁＞x₂＞-m，f（x₁）-f（x₂）＞a（x₁-x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：ln（x+1）+2x²＞$\frac{1}{2}$（9x-5）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得x=0處切線的斜率，可得m=1，再由條件可得函數(shù)g（x）=f（x）-ax在（-1，+∞）遞增．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，運(yùn)用基本不等式求得最小值，可得a的范圍；
（2）設(shè)h（x）=ln（x+1）+2x²-$\frac{1}{2}$（9x-5），x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x+m）+2x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x+m}$+4x，
由垂直的條件可得在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線斜率為k=$\frac{1}{m}$=1，解得m=1，
即有f（x）=ln（x+1）+2x²，
?x₁＞x₂＞-m，f（x₁）-f（x₂）＞a（x₁-x₂）恒成立，
即為$\frac{f（{x}_{1}）-a{x}_{1}-（f（{x}_{2}）-a{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
即函數(shù)g（x）=f（x）-ax在（-1，+∞）遞增．
即有g(shù)′（x）=$\frac{1}{x+1}$+4x-a≥0恒成立．
由$\frac{1}{x+1}$+4x=$\frac{1}{x+1}$+4（x+1）-4≥2$\sqrt{\frac{1}{x+1}•4（x+1）}$-4=0，
則有-a≥0，即有a≤0；
（2）證明：設(shè)h（x）=ln（x+1）+2x²-$\frac{1}{2}$（9x-5），x＞0，
則h′（x）=$\frac{1}{x+1}$+4x-$\frac{9}{2}$=$\frac{（8x+7）（x-1）}{2（x+1）}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
即有x=1處h（x）取得最小值，且為ln2+2-2=ln2＞0，
則h（x）＞0恒成立．
故有l(wèi)n（x+1）+2x²＞$\frac{1}{2}$（9x-5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查不等式的恒成立問題，以及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．