Question

已知f(x)=log_ax(a＞0且a≠1)，設(shè)f(a₁),f(a₂),…,f(a_n) (n∈N^*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.

（1）設(shè)a為常數(shù)，求證：{a_n}成等比數(shù)列；

（2）若b_n=a_nf(a_n),{b_n}的前n項(xiàng)和是S_n，當(dāng)a=時(shí)，求S_n.

Answer 1

（1）證明見解析（2）S_n=n·2ⁿ⁺³

解析:

（1）證明  f(a_n)=4+(n-1)×2=2n+2,

即log_aa_n=2n+2,                                                   2分

可得a_n=a²ⁿ⁺².

∴===a²（n≥2）為定值.                              4分

∴{a_n}為等比數(shù)列.                                                      6分

(2)解  b_n=a_nf(a_n)=a²ⁿ⁺²log_aa²ⁿ⁺²=(2n+2)a²ⁿ⁺².

當(dāng)a=時(shí)，b_n=(2n+2)()²ⁿ⁺²=(n+1)2ⁿ⁺².                                8分

S_n=2·2³+3·2⁴+4·2⁵+…+(n+1)·2ⁿ⁺²                             ①

2S_n=2·2⁴+3·2⁵+4·2⁶+…+n·2ⁿ⁺²+(n+1)·2ⁿ⁺³                      ②

①-②得

-S_n=2·2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²-(n+1)·2ⁿ⁺³

=16+-(n+1)2ⁿ⁺³

=16+2ⁿ⁺³-2⁴-n·2ⁿ⁺³-2ⁿ⁺³=-n·2ⁿ⁺³.

∴S_n=n·2ⁿ⁺³.                                                  14分