Question

(理)設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=t，a₂=t²，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+2-(t+1)S_n+1+tS_n=0(n∈N^*)．

(1)證明：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)＜t＜2時(shí)，比較2ⁿ+2^-n與tⁿ+t^-n的大�。�

(3)若＜t＜2，b_n=，求證：．

(文)設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=(a_n-1)(n∈N^*)，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=4n+3(n∈ N^*)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若將數(shù)列{a_n}與{b_n}的公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓉頂?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新數(shù)列{d_n}，證明：數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式為d_n=3²ⁿ⁺¹(n∈N^*)．

Answer 1

答案：(埋)(1)由S_n+2-(t+1)S_n+1+tS_n=0，

得(t+1)S_n+1=S_n+2+tS_n，即a_n+2=ta_n+1，

而a₁=t，a₂=t²

所以，數(shù)列{a_n}是以t為首項(xiàng)、t為公比的等比數(shù)列．

于是a_n=tⁿ．

(2)∵(tⁿ+t^-n)-(2ⁿ+2^-n)=(tⁿ-2ⁿ)[1-]

且＜t＜2

∴＜1，∴tⁿ-2ⁿ＜0且1-()ⁿ＜0

∴(tⁿ-2ⁿ)[1-()ⁿ]＜0

∴tⁿ+t^-n＜2ⁿ+2^-n．

(3)=(tⁿ+t^-n)

∴2()＜(2+2²+…+2ⁿ)+(2^-1+2^-2+…+2^-n)=2(2ⁿ-1)+1-2^-n=2ⁿ⁺¹-(1+2^-n)＜2ⁿ⁺¹

∴.

(文)(1)∵S_n=(a_n-1)(n∈N^*)，

∴a₁=S₁=(a₁-1)，

∴a₁=3．

n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=(a_n-1)(a_n-1-1)，

∴a_n=3a_n-1，即=3(n≥2).

∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)、公比為3的等比數(shù)列，

∴a_n=3·3^n-1=3ⁿ(n∈N^*)．

(2)由(1)知a₁、a₂顯然不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．

∵a₃=27=4×6+3，

∴d₁=27是數(shù)列{b_n}中的第6項(xiàng)，

設(shè)a_k=3^k是數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)，

則3^k=4m+3(k、m∈N^*)．

∵a_k+1=3^k+1=3×3^k=3(4m+3)=4(3m+2)+1，

∴a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．

∵a_k+2=3^k+2=9×3^k=9(4m+3)=4(9m+6)+3，

∴a_k+2是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．

∴d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a²ⁿ⁺¹，

∴數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式是d_n=3²ⁿ⁺¹(n∈N^*)．