Question

【題目】給定方程： ，則下列命題中：

①該方程沒(méi)有小于0的實(shí)數(shù)解；

②該方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解；

③該方程在(－∞，0)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；

④若x0是該方程的實(shí)數(shù)解，則x0>－1.

正確的命題是________．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】試題分析：根據(jù)正弦函數(shù)的符號(hào)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解，故①不正確；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與正弦函數(shù)的有界性，可得方程有無(wú)數(shù)個(gè)正數(shù)解，故②正確；根據(jù)y=（）x﹣1的單調(diào)性與正弦函數(shù)的有界性，

分析可得當(dāng)x≤﹣1時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解，由此可得③④都正確．

解：對(duì)于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一個(gè)解，

則滿足（）α=1﹣sinα，當(dāng)α為第三、四象限角時(shí)（）α＞1，

此時(shí)α＜0，因此該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解，得①不正確；

對(duì)于②，原方程等價(jià)于（）x﹣1=﹣sinx，

當(dāng)x≥0時(shí)，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函數(shù)y=﹣sinx的最小值為﹣1

且用無(wú)窮多個(gè)x滿足﹣sinx=﹣1，

因此函數(shù)y=（）x﹣1與y=﹣sinx的圖象在[0，+∞）上有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)

因此方程（）x+sinx﹣1=0有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解，故②正確；

對(duì)于③，當(dāng)x＜0時(shí)，

由于x≤﹣1時(shí)（）x﹣1≥1，函數(shù)y=（）x﹣1與y=﹣sinx的圖象不可能有交點(diǎn)

當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，存在唯一的x滿足（）x=1﹣sinx，

因此該方程在（﹣∞，0）內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，得③正確；

對(duì)于④，由上面的分析知，

當(dāng)x≤﹣1時(shí)（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解

∴函數(shù)y=（）x﹣1與y=﹣sinx的圖象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交點(diǎn)

因此只要x0是該方程的實(shí)數(shù)解，則x0＞﹣1．

故答案為：②③④