Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處的切線方程為 y=3x+1，
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=-2時有極值，求f（x）的表達式；
（2）在（1）條件下，若函數(shù)y=f（x）在[-2，m]上的值域為[]，求m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出導函數(shù)，令導函數(shù)在1處的值為3，在-2處的值為0，函數(shù)在1處的值為4，列出方程組求出a，b，c的值．
（2）由（1）得：f（x）=x³+2x²-4x+5，畫出它的圖象，如圖，由圖可知，若函數(shù)y=f（x）在[-2，m]上的值域為[]，m的取值范圍．
（3）令導函數(shù)大于等于0在[-2，1]上恒成立，通過對對稱軸與區(qū)間關(guān)系的討論求出導函數(shù)在區(qū)間的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范圍．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b
∵曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1．
∴即
∵函數(shù)y=f（x）在x=-2時有極值
∴f′（-2）=0即-4a+b=-12
∴
解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）由（1）得：f（x）=x³+2x²-4x+5，畫出它的圖象，如圖，
由圖可知，
若函數(shù)y=f（x）在[-2，m]上的值域為[]，
m的取值范圍是：[，2]．
（3）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x²-bx+b
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增
∴f′（x）≥0即3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立
f′（x）的最小值為f′（1）=1-b+b≥0∴b≥6
f′（-2）=12+2b+b≥0∴b∈∅
，f′（x）的最小值為 ∴0≤b≤6
總之b的取值范圍是b≥0
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導數(shù)的幾何意義、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．