Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n²-a_nS_n+a_n=0（n≥2）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義即可證明；
（II）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 證明：（Ⅰ）∵S_n²-a_nS_n+a_n=0（n≥2）．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
可得：${S}_{n}^{2}$-（S_n-S_n-1）S_n+S_n-S_n-1=0，
化為：S_n-1S_n+S_n-S_n-1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，$\frac{1}{{S}_{1}}$=2．
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴S_n=$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查a_n與S_n的關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．