Question

如圖,將長AA′=,寬AA₁=3的矩形沿長的三等分線處折疊成一個三棱柱,如圖所示:

(1)求平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值;

(2)求三棱錐A₁—APQ的體積.

Answer 1

解：(1)依題意,知三棱柱ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,且側(cè)棱AA₁=3,底面邊長為,BP=1,

CQ=2.延長QP交BC延長線于點E,連結(jié)AE.在△ACE中,AC=,CE=2BC=2,∠ACE=60°,于是∠EAC=90°,AE=3.由于△CAE為直角三角形,CA⊥AE,連結(jié)QA,則QA⊥AE,∠QAC即為平面APQ與底面ABC所成角的平面角.在Rt△QAC中,tan∠QAC==.所以平面APQ與平面ABC所成二面角的正切值為.

(2)連結(jié)A₁P,則=AA₁·AB=×3×=.因為CC₁∥平面A₁AP,Q是CC₁上的點,所以Q到平面A₁AP的距離等于C到平面A₁AP的距離.因為平面A₁AP⊥平面ABC,所以C到平面A₁AP的距離即為正△ABC的高h=×=.

所以=××=.