Question

2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，且$sinAsinC=\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面積最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理結(jié)合已知可得sin²B=sinAsinC．又$sinAsinC=\frac{3}{4}$，結(jié)合sinB＞0，可求sinB的值，結(jié)合B∈（0，π），即可求得B的大小，又b²=ac，則b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大邊，從而可求B的值．
（II）由余弦定理結(jié)合已知可得ac≤9，由三角形面積公式可得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，即可求得△ABC的面積最大值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閍、b、c成等比數(shù)列，則b²=ac．
由正弦定理得sin²B=sinAsinC．
又$sinAsinC=\frac{3}{4}$，
所以${sin^2}B=\frac{3}{4}$．
因?yàn)閟inB＞0，
則$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…4分
因?yàn)锽∈（0，π），
所以B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
又b²=ac，則b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大邊，
故$B=\frac{π}{3}$．…7分
（II）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得9=a²+c²-ac≥2ac-ac，得ac≤9．
所以，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．
當(dāng)a=c=3時(shí)，△ABC的面積最大值為$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式，等比數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．