Question

18．曲線f（x）=x²（x＞0）在點(diǎn)（a，f（a））處的切線與兩條坐標(biāo)軸圍城的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值為2．

Answer 1

分析 求出曲線f（x）=x²（x＞0）在點(diǎn)（a，f（a））處的切線方程，進(jìn)一步求出切線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式求得a值．

解答 解：∵f（x）=x²（x＞0），
∴f′（x）=2x，故曲線f（x）=x²（x＞0）在點(diǎn)（a，f（a））處的切線的斜率為2a（a＞0），
∴曲線f（x）=x²（x＞0）在點(diǎn)（a，f（a））處的切線方程為y-a²=2a（x-a），
即2ax-y-a²=0，其與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，-a²），（$\frac{a}{2}，0$），
∴$\frac{1}{2}×{a}^{2}×\frac{a}{2}=2$，解得a=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．