Question

16．設數(shù)列{a_n}（n=1，2，3…）的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₃，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；  
（Ⅱ）設數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 由已知S_n=2a_n-a₃，有a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n≥2），
即a_n=2a_n-1（n≥2）從而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，即a₁+a₃=2（a₂+1）
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．