Question

已知曲線C：y=f（x）=x³-3px²（p∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)p=

1

3

時，求曲線C的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為m的兩條直線與曲線C相切于A，B兩點(diǎn)，求證：AB中點(diǎn)M在曲線C上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，又已知直線AB的方程為：y=-x-1，求p，m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)p=

1

3

時，先求導(dǎo)，通過斜率為1得到切點(diǎn)．然后利用點(diǎn)斜式得到所求切線方程；
（Ⅱ）先將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出，其中縱坐標(biāo)用相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示．再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足x₁+x₂=2p．從而得到AB中點(diǎn)M，即可得到結(jié)論．
（Ⅲ）由AB中點(diǎn)在直線y=-x-1，又在曲線C，從而得p=1，再反代如直線與曲線聯(lián)立得方程，得到A．B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入導(dǎo)函數(shù)中得到斜率，從而得到m=3．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)p=

1

3

時，y=f（x）=x³-x²，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x，
由f′（x）=3x²-2x=1，解得x=1或x=-

1

3

，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（-

1

3

，-

4

27

），
對應(yīng)的切線方程為y=x=-1，或y=x+

5

27

．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-6px，設(shè)A（x₁，x₁³-3px₁²），B（x₂，x₂³-3px₂²），（x₁≠x₂），
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得

m=3x12-6px1 m=3x22-6px2

，即3（x₁+x₂）（x₁-x₂）-6p（x₁-x₂）=0，
解得x₁+x₂=2p，
∵

x13-3px12+x23-3px22

2

=

(x1+x2)(x12-x1x2+x22)-3p[(x1+x2)2-2x1x2]

2

=

2p[(2p)2-3x1x2]-3p[(2p)2-2x1x2]

2

=-2p³，
∴AB的中點(diǎn)M（

x1+x2

2

，

x13-3px12+x23-3px22

2

），即M（p，-2p³）
又AB的中點(diǎn)M在曲線C上，等價為，-2p³=p³-3p•p²，顯然成立．
（Ⅲ）知，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，且M在AB上，則M（p，-p-1），
又M在曲線C上，∴-p-1=p³-3p•p²，即2p²-p-1=0，
則（p-1）（2p²+2p+1）=0，
所以p=1．
由

y=x3-3x2 y=-x-1

，即x³-3x²+x+1=0，
則（x³-x²）-（2x²-2x）-x+1=0，即（x-1）（x²-2x-1）=0，
由于x₁+x₂=2．x₁=1+

2

，x₂=1-

2

，
故m=3x₁²-6x₁=3（1+

2

）²-6（1+

2

）=3．
綜上，p=1，m=3為所求．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的方程，直線與曲線的位置關(guān)系．綜合性較強(qiáng)．