Question

8．已知數列{a_n}習前n頂和為S_n，且滿足a₁=1，a_n+2S_nS_n-1=0，（n≥2）
（1）求證：數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數列．
（2）求{a_n}的通項a_n．

Answer 1

分析 （1）把a_n=S_n-S_n-1（n≥2）代入a_n+2S_nS_n-1=0，整理后可得數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數列．
（2）利用（1）求出S_n，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得{a_n}的通項a_n．

解答 （1）證明：由a_n+2S_nS_n-1=0，（n≥2），得
S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，即$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$（n≥2）．
又$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$．
∴數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項，以2為公差的等差數列．
（2）解：由（1）得，$\frac{1}{{S}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
則${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}=-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$（n≥2）．
當n=1時，上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了等差數列通項公式的求法，是中檔題．