Question

8．（1）設(shè)G是△ABC的重心，證明：△GBC，△GAC，△GAB的面積相等．
（2）利用（1）的結(jié)論，證明：三角形頂點(diǎn)到重心的距離，等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心，由同底等高得到S_△GBC=2S_△GCD，S_△GAC=2S_△GCD，由此能證明△GBC，△GAC，△GAB的面積相等．
（2）設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心，由S_△GBC=S_△GAC，S_△GBC=2S_△GCD，得到S_△GAC=2S_△GCD，由此能證明三角形頂點(diǎn)到重心的距離，等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．

解答 （1）證明：設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心，
則AG=2GD，CG=2GF，BG=2GE，
∵BD=CD，∴S_△GBC=2S_△GCD，
∵AG=2GD，∴S_△GAC=2S_△GCD，
∴S_△GBC=S_△GAC，
同理S_△GAC=S_△GAB，
∴△GBC，△GAC，△GAB的面積相等．
（2）證明：設(shè)三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點(diǎn)，G是重心，
∵△GBC，△GAC，△GAB的面積相等，
∴S_△GBC=S_△GAC，
∵BD=CD，∴S_△GBC=2S_△GCD，
∴S_△GAC=2S_△GCD，
∵△AGC和△DGC在分別以AG和DG為底時(shí)，高都是點(diǎn)C到邊AD的距離，
∴AG=2GD，同理可證CG=2GF，BG=2GE，
∴三角形頂點(diǎn)到重心的距離，等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積相等的證明，考查三角形重心定理的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意三角形面積公式的合理運(yùn)用．