Question

統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：y=+8(0＜x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米.

（1）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

（2）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

Answer 1

思路分析：將實際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學問題；“每小時的耗油量”與“從甲地到乙地的耗油量”是兩個不同的概念,不能弄混淆.（2）也可以用三個正數(shù)的算術，幾何均值不等式.

設從甲地到乙地的耗油量為h(x)升，則

h(x)=

當且僅當，即x=80時取等號.

高中數(shù)學中求函數(shù)極值的問題現(xiàn)在常用導數(shù)方法.

解：（1）當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了=2.5(小時)，

要耗油（×40³×40+8）×2.5=17.5（升）.

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升.

（2）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為h(x)升，

依題意得h(x)=(x³x+8). (0＜x≤120),

h′(x)=(0＜x≤120).

令h′(x)=0得x=80.

當x∈(0,80)時，h′(x)＜0,h(x)是減函數(shù)；

當x∈(80,120)時，h′(x)＞0,h(x)是增函數(shù).

∴當x=80時，h(x)取到極小值,h(80)=11.25.

因為h(x)在(0,120］上只有一個極值，所以它是最小值.

答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.