Question

已知函數(shù)f（x）=e^axlnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：函數(shù)的定義域為（0，+∞）．f′（x）=ae^axlnx+e^ax×=e^ax（alnx+）． …（2分）
①當a=0時，f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)； …（3分）
②當a＜0時，∵，，
∴，
又∵e^ax＞0，∴當x→+∞時，f′（x）＜0，
與f（x）在（0，+∞）上遞增矛盾；…（5分）
③當a＞0時，設g（x）=alnx+則g′（x）=．
若0＜x＜時，g′（x）＜0，x＞時，g′（x）＞0
∴g（x）在x=時取得最小值即g（x）的最小值為g（）=-alna+a=a（1-lna）． …（8分）
（i）當0＜a＜e，則g（）＞0，從而f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（ii）當a=e，則g（）=0，其余各點處g（x）＞0，從而f′（x）≥0（僅在x=時取等號），
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（iii）當a＞e，則g（）＜0，從而f′（）＜0，與f（x）在（0，+∞）上遞增矛盾．…（11分）
綜上所述，a的取值范圍是[0，e]． …（12分）
分析：易求函數(shù)f（x）=e^axlnx在定義域為（0，+∞）因此要使函數(shù)f（x）=e^axlnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)即使f′（x）=ae^axlnx+e^ax×=e^ax（alnx+）≥0在（0，+∞）上恒成立即可即對a進行討論再結合單調(diào)性保證alnx+≥0在（0，+∞）上恒成立．
點評：本題主要考察了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，較難．解題的關鍵是要緊緊抓住要使函數(shù)f（x）=e^axlnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)即使f′（x）=ae^axlnx+e^ax×=e^ax（alnx+）≥0在（0，+∞）上恒成立這一等價條件！