Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為3+2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$，如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，C（-3，0），D（3，0），且直線CA與直線BD的交點(diǎn)是K，試求點(diǎn)K的軌跡方程．

Answer 1

分析 通過橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值和最小值可知a、c的值，從而求出橢圓方程，通過設(shè)A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，聯(lián)立直線CA、DB的方程并代入$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1整理即得結(jié)論；

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為3+2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$，
∴a=3，c=2$\sqrt{2}$，
∴b²=9-8=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，
依題意可設(shè)A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有$\frac{{t}^{2}}{9}+{y}_{0}^{2}=1$，
∴CA：y=$\frac{{y}_{0}}{t+3}$（x+3），DB：y=$\frac{-{y}_{0}}{t-3}$（x-3），
∴y²=$\frac{-{{y}_{0}}^{2}}{{t}^{2}-9}$（x²-9），
將$\frac{{t}^{2}}{9}+{y}_{0}^{2}=1$代入上式得y²=$\frac{1}{9}$（x²-9），
整理得交點(diǎn)K的軌跡方程：$\frac{1}{9}$x²-y²=1（y≠0）；

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，涉及斜率、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．