Question

已知△ABC中，AD、BE分別為BC、AC邊的中線且AD⊥BE，則cosC的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：先設(shè)AC=2a，BC=2b，求出CE=a，CD=b，利用向量的減法得

AD

=

CD

-

CA

、

BE

=

CE

-

CB

，根據(jù)AD⊥BE得

AD

•

BE

=0，利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律化簡后，再根據(jù)基本不等式求出cosC的最小值．

解答： 解：設(shè)AC=2a，BC=2b，則CE=a，CD=b，
因?yàn)?span id="5sx5tse" class="MathJye">

AD

=

CD

-

CA

，

BE

=

CE

-

CB

，且AD⊥BE，
所以

AD

•

BE

=(

CE

-

CB

)•(

CD

-

CA

)=0，

CE

•

CD

-

CE

•

CA

-

CB

•

CD

+

CB

•

CA

=0，
abcosC-2a²cos0°-2b²cos0°+4abcosC=0，
即cosC=

2(a2+b2)

5ab

≥

2×2ab

5ab

=

4

5

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），
所以cosC的最小值為：

4

5

，
故答案為：

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查了向量的減法運(yùn)算，向量垂直的條件，數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，基本不等式求最值問題，把角的余弦值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算要簡單些．