Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{11}{2}n$．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${c_n}=\frac{3}{{（2{a_n}-11）（2{b_n}-1）}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式${T_n}＞\frac{k}{57}$對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值；
（Ⅲ）設(shè)$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}（n=2l-1\;，\;l∈{N^*}）\\{b_n}（n=2l\;，l∈{N^*}）\end{array}\right.$，是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，通過對b_n+2-2b_n+1+b_n=0變形可知b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過裂項(xiàng)可知c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并項(xiàng)相加可知T_n=$\frac{n}{2n+1}$，通過作差可知T_n單調(diào)遞增，通過解不等式$\frac{1}{3}＞\frac{k}{57}$即得結(jié)論；
（Ⅲ）分m為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6；
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（\frac{1}{2}{n^2}+\frac{11}{2}n）-[\frac{1}{2}{（n-1）^2}+\frac{11}{2}（n-1）]=n+5$．
而a₁=6滿足上式．∴a_n=n+5（n∈N*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴{b_n}是等差數(shù)列．設(shè)公差為d．
又b₃=11，b₁+b₂+…+b₉=153，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b_1}+2d=11\\ 9{b_1}+36d=153\end{array}\right.$，解得b₁=5，d=3．
∴b_n=3n+2…．（4分）
（Ⅱ）由（I）知${c_n}=\frac{3}{{（2{a_n}-11）（2{b_n}-1）}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{n}{2n+1}$，
∵${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{（2n+3）（2n+1）}＞0$，
∴T_n單調(diào)遞增，${（{T_n}）_{min}}={T_1}=\frac{1}{3}$．
令$\frac{1}{3}＞\frac{k}{57}$，得k＜19，
∴k_max=18．…．（8分）
（Ⅲ）結(jié)論：存在唯一正整數(shù)m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．
理由如下：
∵$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}（n=2l-1\;，\;l∈{N^*}）\\{b_n}（n=2l\;，l∈{N^*}）\end{array}\right.$，
∴需要對m的奇偶性進(jìn)行討論：
（1）當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m+15為偶數(shù)．
∴3m+47=5m+25，解得：m=11．
（2）當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+15為奇數(shù)．
∴m+20=15m+10，解得：$m=\frac{5}{7}∉{N^*}$（舍去）．
綜上，存在唯一正整數(shù)m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．