Question

11．如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．設(shè)∠BAD=α
（Ⅰ）用α表示AD和CD的長(zhǎng)；
（Ⅱ）寫出梯形周長(zhǎng)l關(guān)于角α的函數(shù)解析式，并求這個(gè)梯形周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （I）過D、C分別作DE⊥AB、CF⊥AB，垂足分別為E、F，在Rt△ABD中，求出AD，在Rt△ADE中，求出AE，然后求解BC，CD即可．
（II）利用梯形ABCD的周長(zhǎng)l=AB+BC+CD+AD，說明當(dāng)點(diǎn)D接近于點(diǎn)A時(shí)，$α→\frac{π}{2}$，當(dāng)點(diǎn)C、D接近重合時(shí)，$α→\frac{π}{4}$，得到l=-8cos²α+8cosα+8，（$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$），利用二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（I）過D、C分別作DE⊥AB、CF⊥AB，垂足分別為E、F，…（1分）
因?yàn)椤銩B為半圓的直徑，AD⊥BD，又∠BAD=α
所以在Rt△ABD中，AD=AB•cosα=4cosα，…（3分）
又在Rt△ADE中，AE=AD•cosα=4cos²α，…（4分）
由等腰梯形ABCD同理可得，BC=4cosαBF=4cos²α，…（5分）
∴CD=EF=4-8cos²α；…（6分）
（II）∵梯形ABCD的周長(zhǎng)l=AB+BC+CD+AD，
當(dāng)點(diǎn)D接近于點(diǎn)A時(shí)，$α→\frac{π}{2}$，當(dāng)點(diǎn)C、D接近重合時(shí)，$α→\frac{π}{4}$，
∴l(xiāng)=-8cos²α+8cosα+8，（$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$），…（8分）
$l=-8{（cosα-\frac{1}{2}）^2}+10$，…（10分）
∴當(dāng)$cosα-\frac{1}{2}$，即$α=\frac{π}{3}$時(shí)，
梯形ABCD的周長(zhǎng)l取最大值為10．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．