Question

9．若實數(shù)a，b，c，d滿足$\frac{{a}^{2}-2lna}$=$\frac{3c-4}7fr7j77$=1，則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{（1-ln2）\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{（1+ln2）\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{（3-ln2）\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{（3+ln2）\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 由$\frac{{a}^{2}-2lna}$=$\frac{3c-4}pz7l775$=1，可知點P（a，b）是曲線f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，過曲線y=x²-lnx上的點P（a，b）且與線y=3x-4平行時，|PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的有最小值．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}-2lna}$=$\frac{3c-4}h5jbpzx$=1，
∴點P（a，b）是曲線f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，
∴|PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$
要使|PQ|最小，當(dāng)且僅當(dāng)過曲線y=x²-2lnx上的點P（a，b）且與y=3x-4平行時．
∵f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得極小值．
由$\frac{2{x}^{2}-2}{x}$=3，可得x=2（負值舍去）
∴點P（2，4-2ln2）到直線y=3x-4的距離為d=$\frac{|6-4+2ln2-4|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}$=$\frac{（1-ln2）\sqrt{10}}{5}$，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，分析得到點P（a，b）是曲線y=x²-2lnx上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，|PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$是關(guān)鍵，也是難點，考查理解題意與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線間的距離，屬于難題．