Question

13．設(shè)a＞0，定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}-（2\sqrt{a}-1）{x}^{2}+ax+a}{x}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）≥6恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得a=1時(shí)，f（x）=（x-1）²+（x+$\frac{1}{x}$），由二次函數(shù)的最值和對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性，可得x=1取得最小值；
（2）將f（x）化為（x-$\sqrt{a}$）²+（x+$\frac{a}{x}$），對(duì)a討論，當(dāng)$\sqrt{a}$≥1即a≥1時(shí)，當(dāng)$\sqrt{a}$＜1，即為0＜a＜1，討論函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值，由恒成立思想可得f（x）_min≥6，解不等式可得a的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x-1）²+（x+$\frac{1}{x}$），
由x＞0可得x=1時(shí)，（x-1）²取得最小值0，
x+$\frac{1}{x}$當(dāng)x=1時(shí)取得最小值2，
則f（x）的最小值為2；
（2）f（x）=$\frac{{x}^{3}-（2\sqrt{a}-1）{x}^{2}+ax+a}{x}$
=（x²-2$\sqrt{a}$x+a）+（x+$\frac{a}{x}$）=（x-$\sqrt{a}$）²+（x+$\frac{a}{x}$）
當(dāng)$\sqrt{a}$≥1即a≥1時(shí)，f（x）在[1，$\sqrt{a}$）遞減，（$\sqrt{a}$，+∞）遞增，
則f（x）在x=$\sqrt{a}$處取得最小值，且為2$\sqrt{a}$，
由題意可得2$\sqrt{a}$≥6，解得a≥9；
當(dāng)$\sqrt{a}$＜1，即為0＜a＜1，則f（x）在[1，+∞）遞增，
則f（x）的最小值為f（1）=2+2a-2$\sqrt{a}$，
由題意可得2+2a-2$\sqrt{a}$≥6，解得a≥4，不成立．
綜上可得，a的最小值為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．