Question

 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

(Ⅱ)求CD與平面ADMN所成的角

 

 

Answer 1

本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力。

解析：方法一：

（I）因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331084802001.gif' width=19 height=19>是的中點(diǎn)，，

所以.

因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331084802005.gif' width=43 height=17>平面，所以

，

從而平面.

因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331084802010.gif' width=48 height=17>平面，

所以.

（II）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則，

所以與平面所成的角和與平面所成的角相等.

因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331084802008.gif' width=40 height=17>平面，

所以是與平面所成的角.

在中，

.

故與平面所成的角是.

方法二：

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

.

（I）  因?yàn)?/p>

，

所以

（II）  因?yàn)?/p>

，

所以，

又因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331084802011.gif' width=71 height=17>，

所以平面

因此的余角即是與平面所成的角.

因?yàn)?/p>

，

所以與平面所成的角為.