Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O₁為BD的中點，O₂為BC₁的中點，O₃為DC₁的中點，求證：A₁C⊥平面O₁O₂O₃.

Answer 1

證明：不妨設(shè)正方體的棱長為1個單位長度，且設(shè),,.以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,則

C(0,1,0),A₁(1,0,1),O₁(,,0),O₂(,1,),O₃(0, ,)，=(-1,1,-1),=(0, ,),=(-,0, ).

∴,

.

∴且.

∴A₁C⊥O₁O₂且A₁C⊥O₁O₃.

又∵O₁O₂∩O₁O₃=O₁,∴A₁C⊥平面O₁O₂O₃.

啟示：用向量坐標(biāo)運算證明線線或線面垂直是向量的一個重要應(yīng)用，要熟練掌握.關(guān)鍵是建系，求點的坐標(biāo)，其中建系的恰當(dāng)與否決定解題的繁簡程度.