Question

（2013•眉山一模）已知數列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，數列{b_n}，點（n，b_n）在過點A（0，1）的直線l上，若l上有兩點B、C，向量

BC

=（1，2）．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=n•2bn，試求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由給出的遞推式得到數列{a_n}是等差數列，可直接利用等差數列的通項公式求解．題目給出了直線l經過頂點A，且給出了方向向量

BC

，設出直線l上的任意一點的坐標，由共線向量基本定理可求直線l的方程，然后把點（n，b_n）代入所求的直線方程即可得到數列{b_n}的通項公式；
（2）把（1）中求出的數列{b_n}的通項公式代入c_n=n•2bn，利用錯位相減法可求數列{c_n}的前n項和．

解答：解：（1）在數列{a_n}中，∵a_n+1=a_n+1，∴a_n+1-a_n=1
則數列{a_n}是公差為1的等差數列，又a₁=6，
∴a_n=a₁+（n-1）d=6+1×（n-1）=n+5．
設l上任意一點P（x，y），∵點A（0，1）在直線l上，則

AP

=（x，y-1），
由已知可得

AP

∥

BC

，又向量

BC

=（1，2），
∴2x-（y-1）=0，∴直線l的方程為y=2x+1，
又直線l過點（n，b_n），∴b_n=2n+1；       
（2）由cn=n•2bn=n•22n+1
∴S_n=C₁+C₂+…+c_n
=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+n•2²ⁿ⁺¹①
4Sn=1×25+2×27+…+(n-1)•22n+1+n•22n+3②
①-②得：-3Sn=23+25+27+…+22n+1-n•22n+3．
=

8(1-4n)

1-4

-n•22n+3=

8(1-4n)

-3

-n•22n+3
∴Sn=

8+(3n-1)22n+3

9

．

點評：本題考查了數列中等差關系的確定，考查了由直線的方向向量求直線的方程，訓練了共線向量基本定理，如果直線l的方向向量為

m

=(a，b)，則該直線的斜率為k=

b

a

，考查了數列求和的常用方法，錯位相減法，求一個等差數列和一個等比數列的乘積構成的新數列的和，最常用的方法就是錯位相減法，利用錯位相減法學生最容易忽落的就是最后一項的符號，從而導致解讀出錯．此題屬中檔題型．