Question

已知函數f(x)=

2

x-1

(x∈[2，6])．，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：先利用定義法判斷函數f（x）的單調性，然后利用函數的單調性求出其值域；

解答：解：設2≤x₁＜x₂≤6，
則f(x1)-f(x2)=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵2≤x₁＜x₂≤6，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在[2，6]上為減函數
∴函數f(x)=

2

x-1

在[2，6]的兩個端點上分別取得最大值和最小值，
即f（x）的最大值為f（2）=2，
f（x）的最小值為f(6)=

2

5

故f（x）的值域為[

2

5

，2]．

點評：此題主要考查利用函數的單調性求其值域，計算量比較大，是一道中檔題；