Question

【題目】已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，上焦點(diǎn)到直線的距離為3，橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）橢圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)已知列方程組，解方程組即得橢圓的方程. (2)先假設(shè)存在，再化簡(jiǎn)已知得到，所以存在.

詳解：（1）由已知橢圓方程為，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)，

由到直線的距離為3，得，

又橢圓的離心率，所以，又，

求得，.

橢圓方程為.

（2）存在.理由如下：由（1）得橢圓，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得.

.

設(shè)，，則，.

假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，由于，所以平分.

易知直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，∴.

即，即.（*）

將，代入（*）并整理得，

∴，整理得，即，

∴當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值均成立. ∴存在點(diǎn)使得.