Question

(本小題滿分12分) 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓與直線：相切.
（1）求圓的方程；
（2）若圓上有兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，且,求直線MN的方程；
（3）圓與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍.

Answer 1

（1）．（2）或.（3）.              

(1)關(guān)鍵是利用點(diǎn)到直線的距離求出半徑.
（2）可設(shè)直線MN的方程為.則圓心到直線MN的距離.由垂徑分弦定理得：，從而解出m的值.
(3) 不妨設(shè)．由得．
設(shè)，由成等比數(shù)列，得，即．=,再根據(jù)點(diǎn)P在圓內(nèi)，確定出y的取值范圍，進(jìn)而確定的取值范圍.
解：（1）依題設(shè)，圓的半徑等于原點(diǎn)到直線的距離，
即 ．
得圓的方程為．                     ………………3分
（2）由題意，可設(shè)直線MN的方程為.
則圓心到直線MN的距離.                ………………4分
由垂徑分弦定理得：，即.
所以直線MN的方程為：或.…………6分
（3）不妨設(shè)．由得．
設(shè)，由成等比數(shù)列，得
，即． …………8分
∴=
由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故由此得．    …………10分
所以的取值范圍為.               ………………12分