Question

3．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a（x+1），x≥0\\ x+acosx，x＜0\end{array}\right.（a∈R）$，若其在定義域內是單調函數，則實數a的取值范圍是$[-1，\frac{1}{3}]$．

Answer 1

分析 若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a（x+1），x≥0\\ x+acosx，x＜0\end{array}\right.（a∈R）$，若其在定義域內是單調函數，則f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a，x≥0\\ 1-asinx，x＜0\end{array}\right.$滿足f′（x）≥0恒成立，且分段處左段函數值不大于右段函數值，解得答案．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a（x+1），x≥0\\ x+acosx，x＜0\end{array}\right.（a∈R）$，若其在定義域內是單調函數，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2a，x≥0\\ 1-asinx，x＜0\end{array}\right.$滿足f′（x）≥0恒成立，且分段處左段函數值不大于右段函數值；
∴$\left\{\begin{array}{l}2a≤1\\ \left|a\right|≤1\\ 1-2a≥a\end{array}\right.$，
解得：a∈$[-1，\frac{1}{3}]$，
故答案為：$[-1，\frac{1}{3}]$

點評 本題考查的知識點是分段函數的單調性，正確理解分段函數單調性的意義，是解答的關鍵．