Question

如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，DB₁=，E為BB₁上使B₁E=1的點(diǎn)，平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延長線于G.求：

（1）異面直線AD與C₁G所成的角的大��；

（2）二面角A—C₁G—A₁的正切值.

Answer 1

解法一：（1）由AD∥D₁G知∠C₁GD₁為異面直線AD與C₁G所成的角.

    如圖，連結(jié)C₁F.因?yàn)锳E和C₁F分別是平行平面ABB₁A₁和CC₁D₁D與平面AEC₁G的交線，所以AE∥C₁F，由此可得D₁F=BE=.再由△FD₁G∽△FDA得D₁G=.

    在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁C=得∠C₁GD₁=+.

（2）作D₁H⊥C₁G于H.；連結(jié)FH.由三垂線定理知FH⊥C₁G，故∠D₁HF為二面角F—C₁G—D₁，即二面角A—C₁G—A₁的平面角.

    在Rt△GHD₁中，由D₁G=，∠D₁GH=得D₁H=，從而tanD₁HF==2.

解法二：（1）由AD∥D₁G知∠C₁GD₁為異面直線AD與C₁G所成的角.

    因?yàn)镋C₁和AF是平行平面BB₁C₁C與AA₁D₁D與平面AEC₁G的交線，所以EC₁∥AF.

    由此可得∠AGA₁=∠EC₁B₁=，

    從而A₁G=AA₁=+1，于是D₁G=.

    在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁G=得∠C₁GD₁=.

（2）在△A₁C₁G中，由∠C₁A₁G=，∠A₁GC₁=知∠A₁C₁G為鈍角.如圖，作A₁H⊥GC₁交GC₁的延長線于H，連結(jié)AH.由三垂線定理知GH⊥AH，故∠AHA₁為二面角A—C₁G—A₁的平面角.

    在Rt△A₁HG中，由 A₁G=，∠A₁GH=得A₁H=.

    從而tanAHA₁==2.