Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}中a₁=1，a₄，a₈，a₁₆成等比數列，
（Ⅰ）試求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b_n=a_n•2an，試求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由等差數列的通項公式結合等比數列的性質列式求出等差數列的公差，則等差數列的通項公式可求；
（Ⅱ）把數列{a_n}的通項公式代入b_n=a_n•2an，然后利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），則a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）d，
∴a₄=1+3d，a₈=1+7d，a₁₆=1+15d，
又∵a₄，a₈，a₁₆成等比數列，
∴a82=a4•a16，即（1+7d）²=（1+3d）（1+15d），
解得：d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n，
∴b_n=a_n•2an=n•2ⁿ，
Tn=1×2+2×22+…+n•2n，
2Tn=1×22+2×23+…+n•2n+1．
作差得：
-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)2n+1-2．
∴Tn=(n-1)2n+1+2．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，考查了等比數列的性質，訓練了錯位相減法求數列的和，是中檔題．