Question

已知雙曲線x²-y²=1，過右焦點F₂的直線與右支交于A、B兩點，且線段AF₂、BF₂的長度分別為m、n.

(1)求證：m·n≥1；

(2)若m＞n，當直線AB的斜率k∈［,3］時，求的取值范圍.

Answer 1

答案：(1)證明：設雙曲線的右準線為l，當AB垂直x軸時，A、B兩點縱坐標分別是1，-1，

此時m·n=1符合條件.                                                         

當AB不垂直x軸時，不妨令m＞n.

作AP⊥l于P，BQ⊥l于Q，BK⊥AP于K,

M為BK與x軸交點(如下圖).

由雙曲線的定義：|AP|=m，|BQ|=n,

又F₂到l的距離d=，

由直角三角形相似性質得：，

即.

化簡得2m·n=m+n≥,

∴m·n≥1.∵m≠n,∴m·n＞1成立,綜上得m·n≥1.                                   

(2)解：F₂的坐標為(，0)，設AB的方程為x=ty+,

代入x²-y²=1,得(t²-1)y²+ty+1=0.設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

由韋達定理：y₁+y₂=,y₁·y₂=，令=λ,則λ＞1,從而有y₁=-λy₂.

∴

消去y₂得,

從而λ+-6，由k∈[，3]得t²=∈［］,∴3≤λ+≤4.

∵λ＞1,∴λ∈［］.