Question

已知函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，數(shù)列{a_n}滿足，，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍以及a取得最小值時f（x）的最小值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立
∴a≥在[0，+∞）上恒成立
∵x∈[0，+∞），∴∈（0，1]
∴a≥1
當a=1時，f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）解：∵，
∴=
∴{}是常數(shù)數(shù)列
∵，，
∴
∴=
∴
∴
∴{a_n-1}是首項為-，公比為的等比數(shù)列
∴a_n-1=（-）•
∴a_n=1-；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知對x∈[0，+∞）恒成立
令x=，則
∴＜ln（+1）=ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2）
∴++…+＜[ln（3²-2）-ln（3¹-2）]+[ln（3³-2）-ln（3²-2）]+…+ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2）=ln（3ⁿ⁺¹-2）
∴
分析：（Ⅰ）由題意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，可得a≥在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）先證明{}是常數(shù)數(shù)列，再證明{a_n-1}是首項為-，公比為的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知對x∈[0，+∞）恒成立，令x=，則，可得＜ln（3ⁿ⁺¹-2）-ln（3ⁿ-2），疊加即可證得結(jié)論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查數(shù)列的通項與不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．