Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1），其中a＞0且a≠1
（1）證明函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)；
（2）求函數(shù)y=f（2x）與y=f^-1（x）的圖象的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）討論字母a與1的大小關(guān)系，求函數(shù)的定義域，即可證明當(dāng)a＞1時(shí)，圖象f（x）總在y軸的右側(cè)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖象f（x）總在y軸的左側(cè)
（2）先求函數(shù)f（x）的反函數(shù)得y=f^-1（x），再將y=f（2x）與y=f^-1（x）聯(lián)立，解方程組即可得圖象的公共點(diǎn)的坐標(biāo)

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=log_a（a^x-1）的定義域解不等式a^x-1＞0的解集，
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式a^x-1＞0等價(jià)于a^x＞a⁰，即x＞0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式a^x-1＞0等價(jià)于a^x＞a⁰，即x＜0．
所以函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）或（-∞，0），所以圖象f（x）總在y軸的一側(cè)；
（2）由y=log_a（a^x-1）得a^x=a^y+1，即x=log_a（a^y+1），所以f^-1（x）=log_a（a^x+1），
∴

y=loga(a2x-1) y=loga(ax+1)

，消去y，得a^2x-a^x-2=0，解得a^x=-1或a^x=2，
解得

x=loga2 y=loga3

∴函數(shù)y=f（2x）與y=f^-1（x）的圖象的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（log_a2，log_a3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)定義域的意義，函數(shù)圖象交點(diǎn)的代數(shù)求法，解題時(shí)要透徹理解函數(shù)定義，學(xué)會(huì)利用函數(shù)解析式解決函數(shù)關(guān)系問(wèn)題