Question

19．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x）．若曲線y=f（x）在x=-1處的切線方程為x-y+3=0，則該曲線在x=5處的切線方程為（　　）

• A． x-y-3=0
• B． x-y-7=0
• C． x+y-3=0
• D． x+y-7=0

Answer 1

分析 由f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x），可令x為x+2，可得f（x）為周期為4的函數(shù)，再由x=-1處的切線方程為x-y+3=0，可得f（1），f（5），再通過求導(dǎo)，可得導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)且為周期函數(shù)，即可求得f′（5），由點斜式方程，即可得到所求切線方程．

解答 解：由f（-x）=f（x），f（x+2）=f（2-x），
即有f（x+4）=f（2-（x+2））=f（-x）=f（x），
則f（x）為周期為4的函數(shù)，
若曲線y=f（x）在x=-1處的切線方程為x-y+3=0，
則f（-1）=2，f′（-1）=1，
即有f（5）=f（1）=f（-1）=2，
對f（-x）=f（x），兩邊求導(dǎo)，可得-f′（-x）=f′（x），
由f（x+4）=f（x），可得f′（x+4）=f′（x），
即有f′（5）=f′（1）=-f′（-1）=-1，
則該曲線在x=5處的切線方程為y-2=-（x-5），
即為x+y-7=0．
故選：D．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查函數(shù)的奇偶性和周期性的運用，屬于中檔題．