Question

21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足

   （Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；

   （Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；

  

 （Ⅲ）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F₁MF₂的面積S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

21.（Ⅰ）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)

由P(x,y)在橢圓上，得

由x≥－a，知，

所以

證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)記

則

由r₁+r₂=2a,

證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)橢圓的左準(zhǔn)線方程為

由橢圓第二定義得，即

       由x≥－a，知，所以

（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y)

           當(dāng)||=0時(shí)，點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（－a，0）在軌跡上.

當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn).

在△QF₁F₂中，，

所以有x²+y²=a².

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x²+y²=a².

解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（－a，0）在軌跡上.

       當(dāng)時(shí)，

由，得.

       又，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn).

       設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x’，y’），則

       因此                          ①

       由得        ②

       將①代入②，可得x²+y²=a².

       綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x²+y²=a².

   （Ⅲ）C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀）使S=b²的充要條件是

    

       由③得|y₀|≤a，由④得  所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=b²；

       當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.

       當(dāng)時(shí)，

，

       由，

       ，

，

得tan∠F₁MF₂=2.