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已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點

(1)若以AB為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)a的值；

(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使A、B兩點關(guān)于直線y=x對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由.
答案：
解析：

 解析：(1)由消去y，得

(3-a2)x2-2ax-2=0. ①

依題意

即-＜a＜且a≠±3. ②

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則

∵以AB為直徑的圓過原點，∴OA⊥OB.

∴x1x2+y1y2=0.

但y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,

由③④，x1+x2=,x1x2=.

∴(a2+1)·+a·+1=0.

解得a=±1且滿足②.

(2)假設(shè)存在實數(shù)a，使A、B關(guān)于y=x對稱，則直線y=ax+1與y=x垂直，

∴a·=-1，即a=-2.

直線l的方程為y=-2x+1.

將a=-2代入③得x1+x2=4.

∴AB中點橫坐標為2，

縱坐標為y=-2×2+1=-3.

但AB中點(2，-3)不在直線y=x上,

即不存在實數(shù)a，使A、B關(guān)于直線y=x對稱.


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1；
（1）當a為何值時，直線與雙曲線有一個交點；
（2）直線與雙曲線交于P、Q兩點且以PQ為直徑的圓過坐標原點，求a值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點，
（1）若以AB線段為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)a的值．
（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使A、B兩點關(guān)于直線y=
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x對稱？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點，（1）若以AB線段為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)a的值。（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使A、B兩點關(guān)于直線對稱？說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆甘肅省高二第一學期期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點。

（1）若以AB線段為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)a的值。

（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使A、B兩點關(guān)于直線對稱？說明理由。

 

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