Question

3．在△ABC中，設內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（A+$\frac{5π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求角A的大��；
（2）若a=$\sqrt{5}$，sin²B+cos2C=1，求b，c．

Answer 1

分析 （1）由誘導公式、兩角差的正弦、余弦函數(shù)化簡已知的等式，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角A的大��；
（2）由二倍角余弦公式的變形化簡sin²B+cos2C=1，由正弦定理化簡后，由條件和余弦定理列出方程求出b，c的值．

解答 解：（1）因為sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（A+$\frac{5π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA-（$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化簡得cosA=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜A＜π，則A=$\frac{3π}{4}$；
（2）因為sin²B+cos2C=1，所以sin²B+1-2sin²C=1，
即sin²B=2sin²C，
由正弦定理得，b²=2c²，則b=$\sqrt{2}$c，
又a=$\sqrt{5}$，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則5=2c²+c²-2$\sqrt{2}$c²×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，解得c=1，
則b=$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，誘導公式，兩角差的正弦、余弦函數(shù)，以及二倍角余弦公式的變形的應用，考查轉(zhuǎn)化思想、方程思想，化簡、變形能力．