Question

【題目】某企業(yè)在第1年初購買一臺價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.

(1)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；

(2)設(shè)An＝.若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新．證明：須在第9年初對M更新．

Answer 1

【答案】（1）an＝；（2）見解析.

【解析】(1)當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為120，公差為－10的等差數(shù)列，

∴＝120－10(n－1)＝130－10n；

當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，

又＝70，

所以．

綜上可得第n年初，M的價(jià)值的表達(dá)式為．

(2)證明：設(shè)表示數(shù)列的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式，得

①當(dāng)1≤n≤6時(shí)，，

∴；

∴數(shù)列是遞減數(shù)列，故，M可繼續(xù)使用．

②當(dāng)n≥7時(shí)，由于，故

，

∴，

易知數(shù)列是遞減數(shù)列．

又，

所以需在第9年初對M更新．