Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，如圖所示.

（1）求證：AC⊥BC₁；

（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；

（3）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值.

Answer 1

解法一:（1）證明：∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC⊥BC.

∵BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，

∴AC⊥BC₁.

(2)證明：設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE.

∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，

∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)解：∵DE∥AC₁,

∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角.

在△CED中，ED=AC₁=，CD=AB=，

CE=CB₁=2.

∴cos∠CED=

∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為

解法二：

∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC、BC、C₁C兩兩垂直.

如上圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、CC₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B(0,4,0),B₁（0，4，4），D（，2，0）.

(1)證明:∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),

∴·=0.∴AC⊥BC₁.

(2)證明:設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，則E（0，2，2）.

∵=(-,0,2),=(-3,0,4),

∴=.∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)解：∵=(-3,0,4),=(0,4,4),

∴cos〈〉

∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為.