Question

12．如圖C是△PAB邊AB內的一點，下列說法正確的是（　�。�

• A． PCsin（α+β）=PBsinα+PAsinβ
• B． PCsin（α+β）=PAsinα+PBsinβ
• C． $\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$
• D． $\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{sinα}{PA}$+$\frac{sinβ}{PB}$

Answer 1

分析 根據正弦定理，進行轉化進行證明即可．

解答 解：∵$\frac{sin（α+β）}{AB}=\frac{sinA}{PB}$，$\frac{sinα}{AC}=\frac{sinA}{PC}$，
∴AB=$\frac{PB•sin（α+β）}{sinA}$，
AC=$\frac{sinα•PC}{sinA}$，
∵$\frac{sinβ}{BC}=\frac{sinB}{PC}$，
∴BC=$\frac{sinβ•PC}{sinB}$，
∵AB=AC+BC，
∴$\frac{PB•sin（α+β）}{sinA}$=$\frac{sinα•PC}{sinA}$+$\frac{sinβ•PC}{sinB}$，
即sinα•PC+sinβPC$•\frac{PB}{PA}$=PB•sin（α+β），
即sinα•PC•PA+sinβ•PB•PC=PA•PB•sin（α+β），
兩邊同除以PA•PB•PC得$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$，
故選：C．

點評 本題主要考查解三角形的應用，利用正弦定理是解決本題的關鍵．