Question

15．已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x-b（a，b∈R）在x=0處取得極值．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
（2）證明：$\frac{2}{1^2}$+$\frac{3}{2^2}$+$\frac{4}{3^2}$+…+$\frac{n+1}{n^2}$＞ln（n+1）（n∈N₊）

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1=$\frac{1-2x（x+a）-（x+a）}{x+a}$，從而可得$\frac{1-a}{a}$=0，從而解得a=1；再求得f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減；從而解得；
（2）由（1）得ln（x+1）≤x²+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）；再設(shè)x=$\frac{1}{n}$，從而可得ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$；從而證明即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1=$\frac{1-2x（x+a）-（x+a）}{x+a}$，
且f′（0）=0，
∴$\frac{1-a}{a}$=0，即a=1；
∴f（x）=ln（x+1）-x²-x-b，
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x-1=$\frac{-2x（x+\frac{3}{2}）}{x+1}$（x＞-1）；
由f′（x）＞0得-1＜x＜0；
由f′（x）＜0得x＞0；
∴f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減；
問(wèn)題等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-b＞0}\\{ln2-2-b＜0}\end{array}\right.$，解得ln2-2＜b＜0；
即實(shí)數(shù)b的取值范圍為（ln2-2，0）；
（2）證明：由（1）得，當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的最大值為f（0）=0；
即ln（x+1）≤x²+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）；
設(shè)x=$\frac{1}{n}$，得ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$，∴l(xiāng)n$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$；
取n=1，2，3，…，n依次相加可得，
ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$；
即$\frac{2}{1^2}$+$\frac{3}{2^2}$+$\frac{4}{3^2}$+…+$\frac{n+1}{n^2}$＞ln（n+1）（n∈N₊）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，屬于中檔題．