Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n=,n=1，2，3,….

（1）求首項(xiàng)a₁與通項(xiàng)a_n；

（2）設(shè)T_n=，n=1,2,3,…，證明.

 

Answer 1

(1)解:由S_n=,n=1，2，3,….    ①

得a₁=S₁.

所以a₁=2.

再由①有S_n-1a_n-1×2ⁿ+,n=2,3,…,           ②

將①和②相減得a_n=S_n-S_n-1=(a_n-a_n-1)-×(2ⁿ⁺¹-2ⁿ),n=2,3,….

整理得a_n+2ⁿ=4(a_n-1+2^n-1),n=2,3,….

因而數(shù)列{a_n+2ⁿ}是首項(xiàng)為a₁+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即a_n+2ⁿ=4×4^n-1=4ⁿ,n=1,2,3,….

因而a_n=4ⁿ-2ⁿ,n=1,2,3,….

(2)證明:將a_n=4ⁿ-2ⁿ代入①得

S_n=×(4ⁿ-2ⁿ)-×2ⁿ⁺¹+

=×(2ⁿ⁺¹-1)(2ⁿ⁺¹-2)

=×(2ⁿ⁺¹-1)(2ⁿ-1).

T_n==().

所以,

=×(.