Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sinxsin(

π

2

+x)+cos2x，在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（A）=1，A+B=

7π

12

，b=

6

，求A和a．

Answer 1

（1）因?yàn)?span mathtag="math" >f(x)=sinxsin(

π

2

+x)+cos2x=sinxcosx+cos²x…（1分）
=

1

2

[sin2x+1+cos2x]…（3分）
=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．…（4分）
所以，當(dāng)sin(2x+

π

4

)=1，
即2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，
x=kπ+

π

8

(k∈Z)時(shí)，f（x）取得最大值，…（5分）
其最大值

2 +1

2

．…（6分）
（2）由f（A）=1得，

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

=1，
即sin(2A+

π

4

)=

2

2

．…（7分）
在△ABC中，因?yàn)锳∈（0，π），
所以2A+

π

4

∈(

π

4

，

9π

4

)．
又sin(2A+

π

4

)=

2

2

＞0，
所以2A+

π

4

=

3π

4

，A=

π

4

．…（9分）
又因?yàn)?span mathtag="math" >A+B=

7π

12

，所以B=

π

3

．…（10分）
在△ABC中，
由

a

sinA

=

b

sinB

及b=

6

，
得a=

bsinA

sinB

=

6 × 2 2

3 2

=2．…（12分）