Question

（1）求實軸長為6，漸近線方程為y=±

3

2

x的雙曲線的標準方程．
（2）已知橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，點P在橢圓上，且|PF₁|=

5

2

，求cos∠F₁PF₂的值．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由題意，得

2a=6 b a = 3 2

；當焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）由題意得

2a=6 a b = 3 2

．由此能求出雙曲線的方程．
（2）由已知得|PF₁|=

5

2

，|PF₂）=

3

2

，|F₁F₂|=2c=2，由余弦定理能求出cos∠F₁PF₂．

解答： 解：（1）當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由題意，得

2a=6 b a = 3 2

，解得a=3，b=

9

2

．
所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

81 4

=1．
當焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由題意得

2a=6 a b = 3 2

，解得a=3，b=2，
∴焦點在y軸上的雙曲線的方程為

y2

9

-

x2

4

=1．
（2）∵橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，點P在橢圓上，|PF₁|=

5

2

，
∴|PF₂）=

3

2

，又|F₁F₂|=2c=2，
由余弦定理cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

25 4 + 9 4 -4

2× 5 2 × 3 2

=

3

5

．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線性質的合理運用．