Question

3．已知命題p：函數f（x）=x²+ax-2在（-2，2）內有且一個零點．命題q：x²+2ax+4≥0對任意x∈R恒成立．若命題“p∧q”是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 由命題p為真，由于f（-2）f（2）≤0得a≤-1，或a≥1．由命題q為真，由于判別式非負，解不等式可得a的范圍．由命題“p且q”是真命題，求出a的范圍．由此求補集，能求出實數a的取值范圍．

解答 解：若命題p為真，由于判別式為a²+8＞0，
則有f（-2）f（2）≤0，即為（4-2a-2）（4+2a-2）≤0，
解得a≥1或a≤-1；
若命題q為真，由x²+2ax+4≥0對任意x∈R恒成立，
可得△=4a²-16≤0，
解得-2≤a≤2．
當命題“p∧q”是真命題，可得
$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a≥1或a≤-1}\end{array}\right.$，即為-2≤a≤-1或1≤a≤2，
則命題“p∧q”是假命題時，
a的范圍是a＜-2或-1＜a＜1或a＞2．

點評 本題考查命題的真假判斷，注意函數性質的靈活運用和零點存在定理的運用，屬于中檔題．