Question

已知P（x，y）為函數(shù)y=lnx圖象上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OP的斜率為k=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；    
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）=x﹣f（x）的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）k=f（x）=（x＞0），
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=
令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；
令f′（x）＜0，可得x＞e
∴f（x）在（0，e）單調(diào)遞增，（e，+∞）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）F（x）=x﹣，求導(dǎo)函數(shù)可得F′（x）=
設(shè)h（x）=x²﹣1+lnx，求導(dǎo)函數(shù)可得
∴h（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．
∵h(yuǎn)（1）=0，∴F'（1）=0，除了1之外，F(xiàn)（x）無其他零點(diǎn)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（1）=1為最小值．