Question

4．如圖，已知點(diǎn)S（-2，0）和圓O：x²+y²=4，ST是圓O的直徑，從左到右M、O和N依次是ST的四等分點(diǎn)，P（異于S，T）是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，PD⊥ST，交ST于D，$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，直線PS與TE交于C，|CM|+|CN|為定值．
（1）求點(diǎn)C的軌跡曲線Γ的方程及λ的值；
（2）設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，直線l與n垂直相交于Q點(diǎn)，l與軌跡Γ相交于A，B兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{OQ}$|=1．是否存在直線l，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，得$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=\frac{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{1+λ}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，根據(jù)|CM|+|CN|為定值，建立條件關(guān)系即可求λ的值及點(diǎn)C的軌跡曲線E的方程；
（2）分類討論，根據(jù)$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1，|$\overrightarrow{OQ}$|=1，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將y=kx+m代入橢圓方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，T（2，0），M（-1，0），N（1，0），
設(shè)P（x₀，y₀），C（x，y），則E（x₀，$\frac{{y}_{0}}{1+λ}$），
直線PS與TE交于C，故x≠±2，
$\frac{y}{x+2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$①且$\frac{y}{x-2}=\frac{\frac{{y}_{0}}{1+λ}}{{x}_{0}-2}$，②
①②相乘得$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=\frac{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{1+λ}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
又點(diǎn)P是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，故$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{1+λ}}=1$，（4分）
要使|CM|+|CN|為定值，則4-$\frac{4}{1+λ}$=1，解得λ=$\frac{1}{3}$．
此時(shí)$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．
即λ=$\frac{1}{3}$時(shí)，點(diǎn)C的軌跡曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），假設(shè)使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1成立的直線l存在，
（ⅰ）當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于Q點(diǎn)且|$\overrightarrow{OQ}$|=1．得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=k²+1
∵$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1，|$\overrightarrow{OQ}$|=1．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{QA}$）•（$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{QB}$）=0
即x₁x₂+y₁y₂=0，
將y=kx+m代入橢圓方程，得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0
由求根公式可得x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，④x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$ ⑤
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
將④，⑤代入上式并化簡(jiǎn)得 （1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0⑥
將m²=1+k²代入⑥并化簡(jiǎn)得-5（k²+1）=0，矛盾，即此時(shí)直線l不存在；
（ⅱ）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足|$\overrightarrow{OQ}$|=1的直線l的方程為x=1或x=-1，
當(dāng)X=1時(shí)，A，B，Q的坐標(biāo)分別為（1，$\frac{3}{2}$），（1，-$\frac{3}{2}$），（1，0），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（0，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{QB}$=（0，-$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=$\frac{9}{4}$≠1
當(dāng)x=-1時(shí)，同理可得$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$≠1，矛盾，即此時(shí)直線l也不存在
綜上可知，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1成立的直線l不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．