Question

16．命題p：“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+（a-$\frac{3}{4}$）x+1在R上既有增區(qū)間又有減區(qū)間”，命題q：“不等式ax²+2ax+1＞0對一切實(shí)數(shù)x都成立”，若“p或q”與“非q”同時為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關(guān)于p，q成立的a的范圍，判斷出p真，q假，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：關(guān)于命題p：“函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+（a-$\frac{3}{4}$）x+1在R上既有增區(qū)間又有減區(qū)間”
即方程f′（x）=x²+ax+（a-$\frac{3}{4}$）=0有2個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=a²-4a+3＞0，解得：a＞3或a＜1；
關(guān)于命題q：“不等式ax²+2ax+1＞0對一切實(shí)數(shù)x都成立”
a=0時：1＞0，成立，
a≠0時：則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜1，
故0≤a＜1，
若“p或q”與“非q”同時為真，
則p真，q假，$\left\{\begin{array}{l}{a＞3或a＜1}\\{a≥1或a＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＞3或a＜0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．